รากฐาน: ส่วนประกอบและคอลัมน์
เวกเตอร์ $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$ ถูกกำหนดโดยส่วนประกอบของมัน; $v_1$ คือส่วนประกอบแรก (มักหมายถึงการเลื่อนในแนวนอน) และ $v_2$ คือส่วนประกอบที่สอง (แนวตั้ง) การจัดเรียงแนวตั้งนี้ไม่ใช่แค่เพื่อความสวยงาม แต่เป็นเงื่อนไขจำเป็นสำหรับการคูณเมทริกซ์กับเวกเตอร์ ซึ่งเป็นหัวใจสำคัญของการคำนวณสมัยใหม่
สเกลาร์คือจำนวนธรรมดา เมื่อคุณคำนวณ $2v$ คุณจะคูณทุกส่วนประกอบ: $2 \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2v_1 \\ 2v_2 \end{bmatrix}$ สเกลาร์ลบ เช่น $-1$ จะทำให้ทิศทางของเวกเตอร์กลับด้าน
การบวกเวกเตอร์เกิดขึ้นทีละส่วนประกอบ: $v + w = \begin{bmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \end{bmatrix}$ ทางเรขาคณิต การกระทำนี้เป็นไปตามกฎ "ปลายต่อท้าย" ซึ่งหมายถึงการต่อเวกเตอร์หนึ่งเข้ากับอีกเวกเตอร์หนึ่งแล้วผลลัพธ์คือเวกเตอร์ที่นำไปสู่ตำแหน่งสุดท้าย
การรวมแบบเชิงเส้น: $cv + dw$
นี่คือโครงสร้างที่สำคัญที่สุดในพีชคณิตเชิงเส้น มันแสดงถึงความสามารถในการไปถึงจุดใดๆ ในพื้นที่ได้โดยการขยายและบวกเวกเตอร์ฐานของเรา ตัวอย่างเช่น:
$$c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c + 2d \\ c + 3d \end{bmatrix}$$
หากเราตั้งค่า $c=1$ และ $d=1$ เราจะได้ผลรวม $v + w = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ หากตั้งค่า $c=0$ และ $d=0$ เราจะไปถึง เวกเตอร์ศูนย์: $\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ โปรดสังเกตว่าเวกเตอร์ $\mathbf{0}$ แตกต่างจากสเกลาร์ $0$; มันคือจุดกำเนิดของระบบพิกัดของเรา